Как найти радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности треугольника обозначают R. Это расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника. Найти R можно по разным данным: по сторонам, по площади, по прямому углу, по углу и стороне.

Самая универсальная формула (через стороны и площадь)

Если известны длины сторон a, b, c, и площадь S, то:

[
R=\frac{abc}{4S}
]

Чтобы найти S без готовой площади, удобно использовать формулу Герона.

Площадь через стороны (формула Герона)

[
p=\frac{a+b+c}{2}
]
[
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
]

После этого подставляешь S в:
[
R=\frac{abc}{4S}
]

Если известны стороны и угол (формула через sin)

Иногда проще, когда известна сторона a и угол α, противолежащий этой стороне:

[
R=\frac{a}{2\sin\alpha}
]

Прямоугольный треугольник (самый простой случай)

Если треугольник прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, и:

[
R=\frac{c}{2}
]

где c - гипотенуза.

Равнобедренный треугольник

Если треугольник равнобедренный со сторонами (a, a, b), то обычно поступают так же: находят площадь S и подставляют в (R=\frac{abc}{4S}). Формулу можно заметно упростить после подстановки (a, a, b), но алгоритм расчёта по сути тот же.

Пример вычисления по сторонам (как в типовых задачах)

Пусть стороны треугольника: 10, 11, 12.

[
p=\frac{10+11+12}{2}=16.5
]
[
S=\sqrt{16.5(16.5-10)(16.5-11)(16.5-12)}
=\sqrt{16.5\cdot 6.5\cdot 5.5\cdot 4.5}\approx 51.52
]

[
R=\frac{10\cdot 11\cdot 12}{4\cdot 51.52}
=\frac{1320}{206.08}\approx 6.40
]

Важно: при вычислениях легко ошибиться в арифметике под корнем и в округлениях на промежуточных шагах.

Как выбрать формулу под вашу задачу

Короткая памятка по обозначениям

Источники

• Теорема о радиусе (R=\frac{abc}{4S}) и связь с площадью: стандартные формулы элементарной геометрии (см. справочные материалы по окружностям и треугольникам).
• Формула Герона для площади: классическая формула (S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}).
• Прямоугольный треугольник: диаметр описанной окружности равен гипотенузе, значит (R=\frac{c}{2}).