Площадь равностороннего треугольника удобно находить через сторону (a). Это главный “универсальный” вариант: если известно (a), остальные формулы обычно сводятся к нему.
Базовая формула
Для равностороннего треугольника:
[
S=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2
]
Где:
- (S) - площадь
- (a) - сторона равностороннего треугольника
Если известны разные данные: формулы и как применять
Ниже - готовые зависимости, когда по условию дано не (a), а что-то другое.
Через сторону (a)
| Что дано | Как найти |
|---|---|
| сторона (a) | (S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2) |
Через высоту (h)
В равностороннем треугольнике высота делит его пополам и образует два прямоугольных треугольника, поэтому:
[
h=\frac{\sqrt{3}}{2}a,\quad S=\frac12 ah
]
Отсюда эквивалентная формула:
[
S=\frac{h^2}{\sqrt{3}}
]
| Что дано | Как найти |
|---|---|
| высота (h) | (S=\dfrac{h^2}{\sqrt{3}}) |
Через периметр (P)
Так как у равностороннего треугольника три одинаковые стороны:
[
P=3a \Rightarrow a=\frac{P}{3}
]
Тогда:
[
S=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{P}{3}\right)^2=\frac{\sqrt{3}}{36}P^2
]
| Что дано | Как найти |
|---|---|
| периметр (P) | (S=\dfrac{\sqrt{3}}{36}P^2) |
Через радиус вписанной окружности (r)
Для равностороннего треугольника:
[
r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow a=\frac{2\sqrt{3}}{3}r
]
Тогда:
[
S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2= \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}r\right)^2=3\sqrt{3}\,r^2
]
| Что дано | Как найти |
|---|---|
| радиус вписанной окружности (r) | (S=3\sqrt{3}\,r^2) |
Через радиус описанной окружности (R)
[
R=\frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow a=R\sqrt{3}
]
Тогда:
[
S=\frac{\sqrt{3}}{4}(R\sqrt{3})^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3R^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2
]
| Что дано | Как найти |
|---|---|
| радиус описанной окружности (R) | (S=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2) |
Мини-подборка примеров (чтобы не “зависать”)
Пример: известна сторона
Пусть (a=12) см. Тогда:
[
S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 12^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 144=36\sqrt{3}\ \text{см}^2
]
Пример: известен периметр
Пусть (P=24) см. Тогда:
[
S=\frac{\sqrt{3}}{36}\cdot 24^2=\frac{\sqrt{3}}{36}\cdot 576=16\sqrt{3}\ \text{см}^2
]
Пример: известна высота
Пусть (h=9) см. Тогда:
[
S=\frac{h^2}{\sqrt{3}}=\frac{81}{\sqrt{3}}=27\sqrt{3}\ \text{см}^2
]
Как понять, какую формулу выбрать
Быстрое правило простое:
- дано a -> бери (S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2)
- дано h -> бери (S=\dfrac{h^2}{\sqrt{3}})
- дано P -> бери (S=\dfrac{\sqrt{3}}{36}P^2)
- дано r -> бери (S=3\sqrt{3}r^2)
- дано R -> бери (S=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2)
Эти формулы выводятся из базовой связи (S=\dfrac12 ah) и геометрии равностороннего треугольника (углы (60^\circ) и одинаковая высота).
Итог
Самая частая и удобная формула для площади равностороннего треугольник:
[
\boxed{S=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2}
]
А если в условии дана высота, периметр или радиусы окружностей - используй соответствующую формулу из таблиц выше.