История в браузере и история поиска хранятся по разным правилам. Если цель - чтобы на устройстве не копились следы, начните с двух направлений:
1) отключите сохранение запросов в аккаунте;
2) на самом устройстве используйте режим без сохранения или очистку данных при закрытии.

Ниже - рабочие настройки для компьютера и телефона.

Что именно может сохраняться

В Яндекс Браузере обычно собираются:
- история посещений (вкладка История с сайтами);
- данные сайтов: кеш и cookie;
- данные форм (автозаполнение);
- разрешения (камера, микрофон и т.д.).

А в поиске дополнительно сохраняются запросы в аккаунте, из-за этого в строке поиск появляются подсказки.

Официальные материалы по истории и режимам приватности: справка Яндекса по браузеру и поиску (раздел History/подсказки) - https://browser.yandex.com/help/ru/search-and-browse/history

Вариант 1. Полная приватность во время сессии - режим Инкогнито

Если нужно, чтобы история и данные сессии не копились, используйте Инкогнито. В этом режиме браузер не сохраняет история просмотров и поиск-следы в рамках текущей работы.

Как включить:
- На компьютере: откройте меню браузера и выберите Инкогнито, либо нажмите сочетание клавиш (в большинстве версий Яндекс Браузера это Ctrl+Shift+N).
- На телефоне: откройте меню браузера и включите Инкогнито в приложении.

Инкогнито лучше всего подходит, если вам важно “прямо сейчас” не оставлять следы на конкретном устройстве. Настройка аккаунта (ниже) отвечает за долгосрочное хранение.

Вариант 2. Отключить сохранение истории поиска в аккаунте Яндекса

Подсказки в строке поиска зависят от того, сохраняет ли Яндекс запросы в вашем аккаунте. Чтобы отключить это:

1) Перейдите в настройки поиска: откройте страницу настройки поиска в вашем аккаунте (официально доступно в интерфейсе Яндекса). Удобная отправная точка - https://yandex.ru/tune/search
2) Найдите настройки, где отключается:
- показ предыдущих запросов в подсказках;
- сохранение истории поиска (названия пунктов могут отличаться по версии).
3) Сохраните изменения.

После этого подсказки перестанут опираться на вашу персональную историю из аккаунта.

Также можно удалить ранее сохраненные запросы в настройках: в том же разделе есть управление “история” поиска и удаление запросов из подсказок. Один из практичных способов описан здесь - https://remontka.pro/istoriya-poiska-yandex/

Вариант 3. Очистка истории браузера при закрытии (компьютер)

Чтобы данные не копились между сессиями, включите удаление данных при выходе из браузера.

Шаги:
1) Откройте Настройки Яндекс Браузера.
2) Найдите параметр удаления данных при закрытии браузера.
3) Выберите типы данных, которые должны удаляться (история/кеш/cookie или выборочно).
4) Сохраните изменения.

Напоминание: в разных версиях пункт может находиться в разделе про конфиденциальность или безопасность. Общая логика и названия похожи в инструкциях по Яндекс Браузеру и автоочистке - https://lifehacker.ru/nastrojka-avtoudaleniya-istorii-poiska/
И аналогичная пошаговая ручная очистка описана здесь - https://adminvps.ru/blog/kak-ochistit-istoriyu-v-yandexe/

Вариант 4. Очистка истории на компьютере вручную

Если нужно убрать накопленное, выполните:

1) Откройте История: меню браузера - История, или Ctrl+H.
2) Нажмите Очистить историю.
3) Выберите период и типы данных (просмотры, кеш, cookie и т.д.).
4) Нажмите Очистить.

Описанные шаги совпадают по смыслу с инструкцией - https://adminvps.ru/blog/kak-ochistit-istoriyu-v-yandexe/
И с практической справкой по ручной очистке в Яндекс Браузере - https://journal.sovcombank.ru/tehnologii/kak-ochistit-istoriyu-v-yandeks-brauzere

Вариант 5. Телефон: отключить сохранение и убрать накопленное

Android

1) Откройте меню браузера (три точки).
2) Перейдите в Настройки.
3) Найдите Очистить данные.
4) Выберите нужные категории и подтвердите очистку.

Чтобы не копились запросы поиск в аккаунте, используйте вариант 2 через настройки Яндекса (раздел https://yandex.ru/tune/search).

Логика очистки в приложении описана здесь - https://adminvps.ru/blog/kak-ochistit-istoriyu-v-yandexe/ и в сопоставимых инструкциях по очистке данных Яндекс Браузера на мобильных - https://remontka.pro/istoriya-poiska-yandex/

iOS

1) Откройте приложение Яндекс.
2) Перейдите в Настройки приложения.
3) Откройте Конфиденциальность.
4) Выполните очистку и отключите сохранение истории поиска (если доступна соответствующая настройка).

Общее расположение пунктов и порядок описаны в инструкциях - https://adminvps.ru/blog/kak-ochistit-istoriyu-v-yandexe/
и подтверждаются практическими гайдами по управлению историей в приложении - https://remontka.pro/istoriya-poiska-yandex/

Что выбрать на практике

Ваша цель Что делать в Яндекс Браузере Что делать в аккаунте Яндекса
Не оставлять следы прямо сейчас Режим Инкогнито Не обязательно
Не копить накопленную историю на устройстве Включить удаление данных при закрытии или чистить “история/кеш/cookie” Не обязательно
Отключить подсказки по вашим прошлым запросам При необходимости очистить историю просмотров Отключить сохранение запросов и показ предыдущих запросов в подсказках
Удалить уже сохраненные запросы Можно очистить историю браузера отдельно Удалить запросы в настройках поиска

Частые ошибки

  • Очищают историю браузера, но забывают отключить сохранение истории поиск в аккаунте. Из-за этого подсказки продолжают появляться, просто источник меняется.
  • Используют очистку, но не включают удаление данных при закрытии, и история снова начинает накапливаться.
  • Удаляют кеш и cookie, но остаются авторизованными. Некоторые сайты быстро “запоминают” вас снова, поэтому это не всегда помогает против подсказок поиска.

Итог

Чтобы история не сохранялась в повседневной работе с яндекс:
- для текущих сессий включайте Инкогнито;
- для долгосрочного эффекта отключайте сохранение запросов в настройках аккаунта через https://yandex.ru/tune/search;
- для устройства включите удаление данных при закрытии или очищайте данные вручную в Настройках/История.

Официальная база по истории и приватному режиму доступна в справке Яндекса по браузеру - https://browser.yandex.com/help/ru/search-and-browse/history